格陵兰怎么长成了非洲的样子——墨卡托 1569，一张"故意画错"的地图

第 二 节画这张图的人，只想让船长少转几次舵

墨卡托本名 Gerard de Cremer（也写作 Kremer），1512 年 3 月 5 日生在佛兰德斯鲁佩尔蒙德（Rupelmonde），家里第七个孩子。父亲是鞋匠。是他的舅舅、鲁佩尔蒙德圣约翰医院的小教堂神父 Gysbrecht 出钱，把他送进了登博斯的"共同生活弟兄会"学校和鲁汶大学。在鲁汶，他遇上了 Gemma Frisius——皇帝查理五世专门请来的那位天文学家，墨卡托对地理学的兴趣就是从他那儿来的。

1534 年他在鲁汶开了自己的作坊。1537 年画圣地巴勒斯坦地图，1538 年画双心形投影的世界图（这张图常被认为第一次把 "America" 这个名字同时给了南北两半大陆），1540 年出《佛兰德斯精确描述》，1541 年造出直径 41 厘米的地球仪——就在那个地球仪上，他已经把斜航线画出来了。

然后他撞上了宗教战争。

1544 年 2 月，他因为回鲁佩尔蒙德探亲被捕，罪名是路德宗异端嫌疑。据 1911 年版《大英百科全书》的著录，同批被抓的四十二个人里，两个被烧死、一个被砍头、两个被活埋；墨卡托在鲁佩尔蒙德城堡的地牢里关了七个月，靠鲁汶大学的学术人脉出面活动才被放出来。家里这段时间没有收入，亲戚还得替他垫付关押费用。

1552 年，他带着全家搬到莱茵河边的杜伊斯堡，做了于利希—克莱沃—贝格公爵的宫廷宇宙志学者——顺便说一句，他答应搬家的一个重要原因，是公爵承诺要办一所大学、给他一个宇宙志教席；这所大学直到他死都没办成。

1569 年，他 57 岁，出了那张图。18 块铜版，每块约 33 × 40 厘米，是他自己一块一块刻的。拼起来大约两米宽、一米二高（不同藏品的量法略有出入，有 202 × 124 厘米和 208 × 132 厘米两种记法）。

他不是第一个往这个方向走的人。1537 年，葡萄牙数学家佩德罗·努内斯（Pedro Nunes）出版了《为航海图辩护》，论证过为什么把经线纬线画成直角的航海图有用；更早的雏形来自 1511 年纽伦堡的 Erhard Etzlaub，他为去罗马朝圣的人画的《罗马之路》罗盘图，已经用上了类似的"纬度渐长"手法。但那些图要么只盖住欧洲一角，要么根本没交代数学。把整个地球装进这个网格、并且把它印成一张两米宽的挂图，墨卡托是第一个。

为什么非得这么画？

因为船长要的不是"世界长什么样"，是"我现在该转几度舵"。

球面上两点之间最短的走法是大圆航线，可大圆航线的罗盘方位角一直在变，你得不停改舵。反过来，如果你要求一件事——从出发到抵达，罗盘方位角从头到尾不变——那条线在球面上是一条绕着极点打圈、越走越密的螺旋线，术语叫斜航线（loxodrome，希腊语 loxos 斜 + dromos 跑），也叫等角航线。

要让这条螺旋线在纸上变成一条笔直的线，唯一的办法是：经线拉成等距的竖线，纬线按纬度往外撑开。撑多少？在纬度 φ 处乘 sec φ，也就是 1/cos φ。赤道附近几乎不动，到北纬 60° 乘 2，75° 乘 3.86，80° 乘 5.76。荷兰语管这个叫 wassende breedtegraden，直译"会生长的纬度"——很传神。

代价就是面积按 sec²φ 膨胀：60° 处四倍，75° 处近十五倍，80° 处三十三倍。第一节那张表，就是这么算出来的。

还有一层不那么"纯数学"的东西。这张图的 18 块版分三排：上排六块覆盖北纬 80° 到 56°，中排六块从北纬 56° 到南纬 16°，下排六块从南纬 16° 到南纬 66°。三排纸张一样高，装进去的纬度却差一倍多——上排只用了 24 个纬度度，下排摊了 50 个。结果，图的中央经线落在欧洲与大西洋之间，而这张纸的中间横带给了欧洲和刚打通的大西洋航路。后来人批评它"欧洲中心"，不是空口扣帽子：同样的墨卡托数学，如果分幅按赤道对称切，欧洲就不会站得那么舒服。墨卡托本人大概没想那么远，他只是把客户住的地方放在了最宽的那一栏。

同一张图上他还画了别的东西：北极附近那块被想象成磁石山的黑色巨岩，南半球那片谁也没见过的"未知的南方大陆"。一张以精确著称的航海图，同时装着当时最扎实的实测和最纯粹的想象——这两样东西在 1569 年是同一件事。

第 三 节那个方法，他一个字没写

最让人意外的是：墨卡托没公布算法。

1569 图上只有几句暗示该怎么用这张图的话，没有给出制图的数学。于是这张图在欧洲挂了整整三十年，成了一件"看得懂、抄不出"的东西——人人知道它好用，没人知道怎么复刻。

补课的是英国人。

1599 年，剑桥冈维尔与凯厄斯学院的 Edward Wright（1561 年 10 月 8 日受洗于诺福克加维斯顿）出版《Certaine Errors in Navigation》（《航海中的若干错误》）。这本书第一次把墨卡托投影的数学底细摊开：图上纬度 φ 对应的纵坐标，等于 sec φ 从 0 积分到 φ；同时他附了一张表，逐分（一度六十分）算到北纬 75°，第一版节略成六页，1610 年的第二版扩到 23 页。同一年，他画了英国历史上第一张墨卡托投影世界地图。

这里有个有趣的插曲：Wright 并不是第一个算出来的人。Thomas Harriot 早在 1594 年就用球极投影把球面斜航线映成对数螺线，已经把这个积分算过一遍——但他没发表。这件事一直埋到 1965 年，才被学者 J. A. Lohne 从故纸堆里翻出来。科学史上"算出来了但没说"的例子从来不缺。

顺着 Wright 往下：1640 年代，Henry Bond 发现 Wright 表里的数值，用 ln tan(45° + φ/2) 这个式子就能直接算出来，1645 年由 Richard Norwood 在《Epitome of Navigation》里印了出来；1666 年，另一位墨卡托（Nicolaus Mercator，跟他没血缘）出钱悬赏求这个结论的证明；1668 年，James Gregory 给出了证明。今天你在 GIS 软件里调一个墨卡托坐标，背后跑的就是这一串三百五十年前被逐个攻破的问题。

Wright 那张手工表准到什么程度？地理学家 Mark Monmonier 后来写了个程序重新算了一遍：对一张三英尺宽的墨卡托世界地图，Wright 的表与现代计算的最大偏差是 0.00039 英寸——0.0099 毫米。三百六十年前用笔和纸排出来的表，误差不到一毫米的百分之一。

也就是说，第一节那个"故意画错"的面积，从来不是错误，而是精度分配的取舍。它把赤道让出去，换回了罗盘上那一条直线。

第 四 节三百年后，它成了政治案的现场

墨卡托自己说得很清楚：ad usum navigantium，"给航海者用"。

问题出在后来。19 世纪以后，这张海图慢慢变成了课堂挂图；20 世纪，美国中小学墙上挂的、图书馆图集里印的、再后来 Google 地图用的，全是它的后代。一张为罗盘设计的工具，被当成了"世界的样子"教了整整一代又一代人。工具一旦被误当成本体，它的偏差就变成了世界的偏差。

1973 年，德国历史学家 Arno Peters（1916—2002）把它变成了政治事件。

他的指控很直接：墨卡托投影让富裕的欧洲和北美看着巨大，让非洲、南美看着渺小，这是一套为殖民秩序服务的视觉语法。他自己 1967 年设计了一个圆柱等面积投影，1973 年正式拿出来讲，1974 年出版《彼得斯世界地图集》。据《新国际主义者》2003 年的讣闻，这套图累计卖出了八千万份，联合国教科文组织等机构采用，英国学校广泛使用，美国的全国教会协进会也用了。

但麻烦接着来了：他的投影不是新的。

1855 年，苏格兰牧师 James Gall 在格拉斯哥的英国科学促进会年会上就提出过同一套东西，自称 "Gall's Orthographic Projection"，1885 年正式发表在《苏格兰地理杂志》上。两者的数学设定完全一致——标准纬线取南北纬 45°。Peters 起初并没有引用 Gall。1986 年，美国制图协会出了一本小册子，作者是威斯康星大学的 Arthur H. Robinson，"Gall–Peters projection"这个名字第一次出现，并且从此定了下来。学界用了十几年的争论，最后用"两个人一起署名"的方式结案。

制图学界当年对 Peters 的语气很难听。Robinson 形容这套投影下的国家像"挂在绳子上晾着的、湿漉漉的、破破烂烂的长内裤"。更实际的问题是 Peters 的几处说法经不起核：他说自己的图是唯一"面积正确"的地图（假的，等面积投影有几百种，最老的可以追到 1722 年 Johann Heinrich Lambert 的圆柱等面积）；他说自己的图"完全没有角度变形"（假的）；他说它"没有极端的形状变形"（也是假的——非洲会被拉成一条又长又直的窄带，两极方向被横向扯开）。

但这些批评挡不住它的传播。因为 Peters 说对了一件最要紧的事：你挂在墙上的那张图，正在替某一种世界秩序说话。 这句话在 1974 年是对的，在 2026 年依然是对的。

第 五 节2017 年 3 月，波士顿把墙上的图换掉了

真正的落地发生在四十三年前那场争论之后的另一个国家。

2017 年 3 月 16 日，星期四，波士顿公立学校开始给 2 年级、7 年级、11 年级的社会科教研组发放新地图——24 × 36 英寸的 Gall–Peters 投影挂图，覆盖 125 所学校。据当时《卫报》、WBUR 和加拿大 CBC 的报道，这是美国第一个正式采用这套投影作为标准的公立学区和州（马萨诸塞州随后跟进）。

推动它的是两个人。负责"机会与成就差距"的助理学监 Colin Rose 对《波士顿环球报》说，这是"我们学区三年去殖民化课程计划的开始"；负责文化能力（cultural proficiency）的 Hayden Frederick-Clarke 给的数字是：波士顿公立学校 86% 的学生是有色人种学生，"发给他们的地图，通常把他们来的地方标得又小又不重要"。历史与社会科主任 Natacha Scott 说，学生第一次看到新图时"像一层帘子从眼前被掀开"，有人当场开始追问：还有什么是被藏起来的？

反对的声音同样实在，而且并不来自"既得利益"：Gall–Peters 保住了面积，代价是形状。对一张每天挂在教室里的图来说，这是用一种失真换另一种失真，学生在上面学到的"非洲是一个又长又窄的条"同样是错的。

这就是地图这门手艺的底色：球面到平面，面积、形状、方向、距离，四个里最多保住一个。墨卡托选方向，Gall–Peters 选面积，没有谁能全都要。任何一张世界地图，都是一份写明了要舍弃什么的合同——麻烦只在于，合同条款从来不印在图边上。

顺带说一句，这场辩论还上过电视剧：2000 年代初的美剧《白宫风云》里，有一整段戏是"制图师促进社会公平组织"的代表跑到白宫，给幕僚们演示墨卡托投影如何让第三世界看起来比实际小。

第 六 节今天这张图的真身：WGS 84 / Pseudo-Mercator

如果以为这只是一段历史，那就错了。你此刻手机里滑的每一张地图，用的还是"墨卡托"——只是换了个更奇怪的名字。

2005 年 Google 地图上线，内置的是墨卡托的一个简化版；2006 年前后 OpenStreetMap 跟上；然后是必应、Mapbox、苹果地图、Esri。今天几乎所有能在屏幕上拖来拖去的图，都用它。它的官方编号是 EPSG:3857，官方名字叫 "WGS 84 / Pseudo-Mercator"——直译"伪墨卡托"。那个 Pseudo 不是笔误，是登记机构留下的一记白眼。

因为它确实是个缝合怪：地理坐标用 WGS 84 椭球（扁率 1/298.257223563），投影却当正球算，半径取长半轴 6378137 米。这么干的原因很朴素——球面公式快。在 2000 年代中期的浏览器上，省下的算力是四成量级。代价是：在高纬度，地表偏差可以到 35 公里；严格说它不是等角投影，斜航线在这张图上也不是直线。

EPSG 一开始拒绝给它编号。原话很难看，也值得原样抄下来："我们审查过微软、谷歌等使用的这个坐标参照系，认为它在技术上有缺陷。我们不会用这种不恰当的大地测量和制图来贬低 EPSG 数据集。" 于是它先在开源圈里得到了一个自嘲式的编号：900913——把 GOOGLE 几个字母倒过来当数字看。2007 年 8 月 6 日，OpenLayers 的 Christopher Schmidt 正式在代码里用上这个号。2008 年，EPSG 让步，给了个 3785；2009 年 2 月 9 日改成 3857，沿用至今。

还有一个副作用很妙：真正的墨卡托把两极推到无穷远，所以在线地图干脆不画两极。它把图裁在南北纬 85.051129°——这个看着像随机数的数字不是随机数，它正是"让整张世界图变成正方形"的那条纬线。

它的运作方式也值得说一句：在线地图不存一整张图，而是把世界切成小块，按缩放级别编号取用。第 0 级全世界就一张 256 × 256 像素的方块；每放大一级，横竖各翻倍，到第 18 级就是 2¹⁸ × 2¹⁸，约 687 亿块瓦片。用球面墨卡托的另一个好处正在这里：瓦片编号和经纬度的换算简单到能直接写在浏览器里，不用查表、不用迭代。所谓"标准"，很多时候不是谁更准，而是谁更省事——省到所有人都懒得换。

结局有点荒诞：美国国防部通过国家地理空间情报局（NGA）宣布，这个投影"不得用于任何官方用途"。与此同时，全世界几十亿人每天在手机上滑动的地图，就是它。

四百五十七年过去了，争论的双方都赢了一半：制图学家继续骂它不老实，而它继续统治着每个人的屏幕。

第 七 节收尾：一张世界地图，四边镶着十二个罗马皇帝

回头看 1569 年那张图，它的结局比它的数学更像一则寓言。

墨卡托晚年真正想干的不是海图，是一部"宇宙志"——从创世讲到人类的谱系，分五部分。1569 年他先出了《年代学》（Chronologia），被教会列进禁书目录；1578 年出托勒密《地理学指南》校勘本；1585 年出法国、德国、尼德兰的图（51 张）；1589 年出东南欧（22 张）。1594 年 12 月 2 日，他在杜伊斯堡去世，那部宇宙志没写完。第二年，儿子鲁姆德（Rumold）把剩下的图凑成一部书，《Atlas sive Cosmographicae Meditationes de Fabrica Mundi et Fabricati Figura》，107 张图，前面附着一篇杜伊斯堡市政官 Walter Ghim 写的传记。"Atlas"这个词从此成了地图集的正式名字——他借的是毛里塔尼亚国王阿特拉斯，那位传说中第一个仰望星空的人。

那张 1569 年的原图，今天全世界只剩两份半。巴黎国家图书馆的那一份，1889 年在布雷斯劳（今弗罗茨瓦夫）发现的第二份，都在 1945 年毁于火。现在能看的是瑞士巴塞尔大学的一份（印成三排，是几份里最清楚的），以及 1932 年发现、现存鹿特丹海事博物馆的一份——那一份是墨卡托当年亲手裁开重装、送给朋友当图集用的，页面上还能看见切痕。

一张为船长服务的地图，五百年后被挂在小学墙上当"世界的样子"，又被一家搜索引擎变成了手机里的默认坐标系。它一辈子没打算说实话——至少没打算说面积上的实话——却比任何一张诚实的地图都活得久。

1931 年，语言学家阿尔弗雷德·科日布斯基（Alfred Korzybski）在一次学术会议上抛出过一句后来被反复引用的话：地图不是疆域（the map is not the territory）。1569 年那张图把这句话写得明明白白：它放弃了 "一个地方在纸上该占多大" 这件事上的公平，换回了罗盘上的一条直线。真正的问题从来不是"墨卡托对不对"，而是——今天挂在你家墙上、装在你手机里的那张图，是替谁画的，又是替谁说话的。

回到本期封面：一张把整个世界摊平的图，边框上刻着十二个罗马皇帝。纸面上四分之三的面积是海，是雨林，是冰；镶边的那一圈，是罗马。谁在上面，谁在边上，四百七十年过去了，这张图自己就是答案。

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